Auf der grammatisch nachweisbar sicheren Seite bist du mit der parallelen Beugung:
... einzigeR österreichischeR ...
Aber die meisten würden wohl auch die schwache Beugung ... österreichischeN ... durchgehen lassen. Zum einen war diese schwache Beugung des zweiten Adjektivs früher die Regel (jetzt nicht mehr) und wird z.T. noch bei Dativ Singular (liegt hier vor) Mask./Neutr. (liegt hier leider nicht vor) angewendet.
Zum anderen ist schwache Beugung nach unbestimmten Zahladjektiven (einzeln ...) möglich, und 'einzig' ist denen ähnlich (der Duden führt allerdings dieses Wort nicht als zu dieser Gruppe gehörend auf).
Wenn du ganz sicher sein willst, schreib doch einfach:
"Der Universität wurde als der einzigen österreichischen Institution dieser Preis verliehen".
