Hai ragione, la sillaba "heran" di solito non viene usata con il verbo "trinken" (invece con altri verbi: herankommen, heranführen etc.); comunque ha sempre qualcosa a che fare con "avvicinarsi".
"Sich an etwas herantrinken" qui significa avvicinarsi bevendo a un certo punto, un limite - avvicinarsi al limite del sopportabile della quantità degli alcolici consumati.
