Der zweite Satz ist richtig. Bei dem ersten ist aber eigentlich nur falsch, dass man "vorbeischicken" zusammen schreibt (oder zusammenschreibt?), sonst geht er auch.
Ja, ich würde auch sagen, beide Sätze sind grammatisch korrekt - die Schreibung ist eine Frage, welcher Rechtschreibnorm man in diesen Zeiten gerade folgt ;-)
Pragmatisch würde ich aber schon einen Unterschied sehen:
"Bitte schickt sie mir vorbei." halte ich für ...
(1) eine unmarkierte Form der Aufforderung.
(2) höflich ("bitte") und einigermaßen persönlich (durch eine Aufforderung und die Einbeziehung deiner eigenen Person).
"Bitte bei mir vorbeischicken" im Gegensatz dazu halte ich für ...
(1) eine Form, die markiert sein KANN, nicht muss: "Bitte bei mir vorbeischicken." (statt beim Kollegen)
(2) weniger höflich: Es ist nicht unhöflich! Aber es ist eine recht klare, strikte Aufforderung, in der man sich stark auf die Sache konzentriert und die Beteiligten nicht weiter berücksichtigt: Der Leser kommt darin sprachlich nicht vor, die ienzige mildernde Formulierung ist as "bitte", aber auch da streiten sich die Fachleute:
"bitte" ist natürlich einierseits eine Abmilderung einer wenig höflichen Aufforderung: "Bitte holen Sie Ihren Hund da weg!"
Aber "bitte" hat manchmal auch die Funktion, einen normalen Satz oder eine normale Frage zur Aufforderung zu machen, mir fällt leider gerade kein richtig gutes Beispiel ein. In die Richtung geht: "Räumen Sie dann bitte die Sachen weg?" ... das ist ja keine echte Frage, die dem Hörer eine echte Alternative lässt.
Aber die pragmatische Seite einer Äußerung kann man eigentlich nur dann verstehen oder beschreiben, wenn man den Kontext kennt: Wer redet mit wem, warum, worüber, wann, wo usw.?
Langer Rede kurzer Sinn: Wenn du nur eine kurze Notzi an jemanden schicken willst, dann kannst du beide Formulierungen nehmen. Keine ist unhöflich, aber die zweite finde ich etwas höflicher/netter als die erste ;-)
Birgit